А. Л. Городенцев (ФМ ВШЭ), "Исчисление степенных рядов"

доклад на мини-конференции 18 февраля 2023, в рамках Дня математика в 179 школе. аннотация: Степенной ряд — это (бесконечное) выражение вида ∑aₙxⁿ = a₀+a₁x+a₂x²+..., где aₙ — числа, а x — переменная. Степенные ряды можно складывать, вычитать и умножать ровно так же, как многочлены (убедитесь в этом!). В отличие от многочленов, ряды довольно часто можно делить, например: 1/(1-x) =1+x+x²+..., ибо (1-x)(1+x+x²+...)=1 (раскройте скобки!). Кроме того, ряды бывает можно подставлять друг в друга, экспоненцировать, логарифмировать, дифференцировать и интегрировать. Единственное, чего мы не будем пытаться делать, — это подставлять вместо x число 1. Скорее, мы будем воспринимать сами ряды как своего рода числа, и увидим, что работать с ними намного приятнее, чем с бесконечными десятичными дробями. Я надеюсь, что при этом мы научимся решать линейные рекуррентные уравнения, раскладывать в ряд функции вроде 1/⁷√1-x и точно вычислять суммы вроде 1¹⁰+2¹⁰+...+1000¹⁰, причём делать это не «доказывая по индукции» уже предъявленные кем-то ответы, а явно находя эти ответы прямым и естественным путём.