Как доказать, что, если суммы цифр двух натуральных чисел равны, то их разность делится на 9?

Доказать, что, если суммы цифр в десятичных записях двух натуральных чисел равны, то разность этих чисел делится на 9. Будем использовать признак делимости на 9, который формулируется следующим образом. Для того, чтобы целое число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр также делилась на 9. Дописываем к каждому из двух данных натуральных чисел слева цифру, равную разности числа 9 и остатка от деления суммы цифр на 9. Легко показать, что оба новых числа делятся на 9, а значит, на 9 делится и их разность. Но эта разность равна разности исходных чисел, умноженной на ±10, а значит, и разность исходных чисел также делится на 9, что и требовалось доказать.