Максимальная мощность при переменном напряжении, полученная любой нагрузкой: вывести формулу - 1/2

вывести формулу для максимальной активной мощности (или максимальной средней мощности) при переменном токе или переменном напряжении. Линия электропередачи может быть индуктивной или емкостной, поэтому ее импеданс Zs представлен в виде Zs = Rs + Xs.j , где Xs может быть положительным (индуктивная линия) или отрицательным (емкостная линия), а Rs - собственное сопротивление линии передачи. Аналогично, любая нагрузка представлена Z = R + X.j, где R - сопротивление нагрузки, если X = 0, то Z является чисто резистивным, в противном случае Z может быть индуктивным или емкостным. Полное сопротивление цепи равно Z_total = Zs + Z = (Rs + R) + (Xs + X).j . Модуль i вычисляется из модулей Vs и Z_total. Комплексная мощность складывается из активной мощности P и реактивной мощности Q: S = { P + Q.j } . P максимальна, когда COS(φ) = 1, т.е. нет фазового сдвига, фазовый угол φ=0°, нет мнимого числа j, нет Q, Q равно нулю. Получим выражение для P(R,X) как функцию двух переменных R и X от нагрузки Z. Чтобы получить локальный экстремум, представляющий максимальную мощность Pmax(R,X), возьмем частную производную по X, считая R постоянной, затем возьмем частную производную по R, считая X постоянной, затем отмена частных производных дает R = Rs и X = -Xs, т.е. если Z = Rs - Xs = сопряженная Zs = Zs*, то будем иметь Pmaxi = Vs²/8Rs. Примечание: нагрузка, используемая для получения максимальной активной мощности, равна Z = Rs - Xs, но максимальная мощность рассчитывается только по Rs, поскольку сумма (X и -Xs) аннулируется.