Применение площадей | Задачи 1-10 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

1. Внутри выпуклого равностороннего многоугольника движется точка. Докажите, что сумма расстояний от нее до его сторон (или их продолжений) постоянна. 2. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а его гипотенуза –– c. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу. 3. Две стороны треугольника равны 4 и 5. Расстояние от середины третьей его стороны до большей из них равно 2. Чему равно расстояние до меньшей стороны? 4. Стороны прямоугольного треугольника равны 6, 8 и 10. Внутри него взяли точку на расстоянии 1 от каждого катета. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. 5. Окружность касается катетов прямоугольного треугольника, а ее центр лежит на гипотенузе. Найдите радиус данной окружности, если катеты равны a и b. 6. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 называется египетским. Вне египетского треугольника взяли точку так, что расстояния от нее до продолжений его катетов равны 1 и 2 (см. рисунок). Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. 7. Стороны прямоугольного треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите расстояние от центра его вписанной окружности до медианы, проведенной к гипотенузе. 8. (Лемма о пропорциональных отрезках.) Несколько параллельных прямых пересекают стороны угла. Докажите, что отношение отрезков, которые они высекают на одной стороне угла, равно отношению соответствующих отрезков на другой его стороне. 9. (Свойство биссектрисы треугольника.) Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. 10. Методом площадей докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.