Теорема Лагранжа: если функция непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то существует точка c ∈ (a, b), где (f(b) - f(a))/(b - a) = f’(c). Геометрически это означает, что касательная в точке c параллельна хорде, соединяющей (a, f(a)) и (b, f(b)). Механический смысл: мгновенная скорость в момент c равна средней скорости на [a, b]. Теорема Коши: если f и g непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и g’(x) ≠ 0, то существует c ∈ (a, b), где (f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f’(c)/g’(c). Доказательства основаны на теореме Ролля. Примеры применения: для arctg(x) на [0, 1] и arcsin(x) на [0, 1].
