Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус окружности, вписанной в его грани равен R = 7 см.

V = 1/3 πS*H, S – площадь основания, H – высота пирамиды. Тетраэдр, следовательно, все треугольники равносторонние. ∆SBC, ∠B=∠S=∠C=60°  OM = R = 7 cм согласно по теореме Пифагора 〖CM〗^2=〖BC〗^2-〖BM〗^2  пусть сторона BC = a  CM = √(a^2-(〖a/2)〗^2 )=(a√3)/2 cм CM – медиана, следовательно CO/OM=2/1  CO + OM =(a√3)/2 2x + x = (a√3)/2  x = (a√3)/6 =R  7 =(a√3)/6  a = 14√3 см – сторона треугольника S_ABC=1/2 AB*BC*sin60°  S_ABC=1/2*14√3*14√3*√3/2=147√3 〖см〗^2 ∆SDN, DN = (a√3)/6= (14√3*√3)/6 = 7 cм. По теореме Пифагора 〖SN〗^2=〖SC〗^2-〖NC〗^2 〖SN〗^2 = 〖14√3〗^2-〖7√3〗^2  SN = 21 〖SD〗^2=〖SN〗^2-〖DN〗^2  〖SD〗^2 = 21^2-7^2  SD = 2√98 см – высота V = 1/3*147√3* 2√98=1680,3 〖см〗^3