Прямоугольный треугольник с углом 30 | Задачи 1-14 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8

1. Свойство прямоугольного треугольника с углом 30◦.Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30◦ , в два раза меньше его гипотенузы. 2. Признак прямоугольного треугольника с углом 30◦. В прямоугольном треугольнике один катет в два раза короче гипотенузы. Докажите, что против него лежит угол 30◦ 3. Одна сторона треугольника в два раза длиннее другой, а угол между ними равен 60◦. Найдите меньший из углов треугольника. 4. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦. На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она ее делит? 5. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦ , а его гипотенуза равна 1. Найдите длину отмеченного пунктиром на рисунке отрезка. 6. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30◦. К его гипотенузе провели серединный перпендикуляр. В каком отношении он делит больший катет треугольника? 7. Выразите сторону четырехугольника, обозначенную буквой x на рисунке, через его стороны a и b. 8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из его углов равен 15◦. Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу. 9. Квадратный лист бумаги сложили вдвое, а затем перегнули так, показано на рисунке. Чему равен отмеченный угол? 10. Угол C треугольника ABC равен 150◦ . Из середины стороны AB на сторону BC опустили перпендикуляр. Найдите длину этого перпендикуляра, если AC =1. 11. Вершину параллелограмма соединили с серединой его противоположной стороны. Полученный отрезок образует с другой его стороной угол 30◦ . Докажите, что отмеченный на рисунке перпендикуляр равен одной из сторон параллелограмма. 12. В треугольнике медиана равна высоте, проведенной к другой его стороне. Найдите угол между ними. 13. Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из той же вершины, образует с этими сторонами углы 30◦ и 90◦ . 14. Прямая, проходящая через середины диагоналей четырехугольника, перпендикулярна одной его стороне, а с противоположной стороной образует угол 60◦ . Докажите, что расстояние между серединами диагоналей равно четверти одной из сторон четырехугольника.