№ 86. Логарифмическое неравенство. Задание 15. ЕГЭ. Математика. Профильная.

Давайте решим логарифмическое неравенство. Сначала посмотрим на него внимательно. Запись длинная. Что в ней повторяется? Несколько раз повторяется Икс-плюс-один. Причём каждый раз по-разному. Один раз под модулем, один раз в четвёртой степени, и один раз в квадрате. Однако… Икс-плюс-один в четвёртой степени можно заменить на модуль Икс-плюс-один в четвёртой степени. И точно так же можно поступить со второй степенью. Теперь Икс-плюс-один везде под модулем. Давайте обозначим модуль Икс-плюс-один буквой Тэ. И подставим эту букву в наше неравенство. Оно сразу упростилось. Заметим что логарифм Тэ в четвертой степени по основанию Тэ равен четырём. Просто по определению логарифма. А логарифм Тэ-квадрат равен двум логарифмам Тэ. По любому основанию. В нашем конкретном случае — по основанию два. Перепишем неравенство с учётом этих фактов. Четыре в квадрате это шестнадцать и кстати, у нас кончилась страница. Поделим левую и правую части на два. Знак неравенства при этом не изменится. Перенесём восемь направо и вычтем из одиннадцати. Преобразуем неравенство по определению логарифма. Основание логарифма больше единицы, поэтому знак неравенства не изменится. А теперь вспомним, что Тэ это модуль Икс-плюс-один и сделаем обратную замену. Прибавить единицу это то же самое что вычесть минус-единицу. Куда бы это записать? Вот сюда наверх. А из такой записи делаем однозначный вывод, что икс находится на расстоянии не больше восьми от точки минус один. Запишем это в виде двойного неравенства. И сразу упростим. Очень хорошо. В этот момент полагается вспомнить, что мы не изучили ОДЗ. Чтобы это сделать, вернёмся к исходному неравенству. Основание логарифма не может быть меньше нуля. Но модуль и так не бывает меньше нуля. Далее. Основание логарифма не может быть равно нулю. В нашем случае это значит, что Икс не равен минус одному. Далее. Основание логарифма не может быть равно одному. В нашем случае это имеет два следствия. Икс не равен минус двум. Икс не равен нулю. Теперь сведём вместе наше решение и эти три ограничения. Это и есть ответ. На экзамене принято записывать его в виде множества. Задача решена.